Урок 2. ТЕМА: "Тотожність. Тотожні перетворення виразу"
Знайдемо значення виразів 2(х – 1) і 2х – 2 для деяких даних значень змінної х. Результати запишемо в таблицю:
Х | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2(х – 1) | -10 | -8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
2х – 2 | -10 | -8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Можнаприйти до висновку, що значення виразів 2(х – 1) і 2х – 2 для кожного даного значення змінної х рівні між собою. За розподільною властивістю множення відносно віднімання 2(х – 1) = 2х – 2. Тому й для будь-якого іншого значення змінної х значення виразів 2(х – 1) і 2х – 2 теж будуть рівними між собою. Такі вирази називають тотожно рівними.
Наприклад, тотожними є вирази 2х + 3х і 5х, бо при кожному значенні змінної х ці вирази набувають однакових значень (це випливає з розподільної властивості множення відносно додавання, оскільки 2х + 3х = 5х).
Розглянемотепер вирази 3х + 2у і 5ху. Якщо х = 1 і у = 1, то відповідні значення цих виразів рівні між собою:
3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Проте можна вказати такі значення х і у, для яких значення цих виразів не будуть між собою рівними. Наприклад, якщо х = 2; у = 0, то
3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.
Отже, існують такі значення змінних, при яких відповідні значення виразів 3х + 2у і 5ху не дорівнюють одне одному. Тому вирази 3х + 2у і 5ху не є тотожно рівними.
Виходячи з вищевикладеного, тотожностями, зокрема, є рівності: 2(х – 1) = 2х – 2 та 2х + 3х = 5х.Тотожністю є кожна рівність, якою записано відомі властивості дій над числами. Наприклад,
А + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;
Ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b – с) = ab – ас.
Тотожностями є і такі рівності:
А + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = – ab;
А + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; – а ∙ (-b) = аb.
Тотожностями також прийнято вважати правильні числові рівності, наприклад:
1 + 2 + 3 = 6; 52 + 122 = 132; 12 ∙ (7 – 6) = 3 ∙ 4.Якщо у виразі 5х + 2х – 9 звести подібні доданки, одержимо, що 5х + 2х – 9 = 7х – 9. У такому випадку кажуть, що вираз 5х + 2х – 9 замінили тотожним йому виразом 7х – 9.
Тотожні перетворення виразів зі змінними виконують, застосовуючи властивості дій над числами. Зокрема, тотожними перетвореннями с розкриття дужок, зведення подібних доданків тощо.
Тотожні перетворення доводиться виконувати під час спрощення виразу, тобто заміни деякого виразу на тотожно рівний йому вираз, який має коротший запис.
Приклад 1. Спростити вираз:
1) -0,3m ∙ 5n;
2) 2(3х – 4) + 3(-4х + 7);
3) 2 + 5а – (а – 2b) + (3b – а).
Розв’язання.
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5mn;
2) 2(3х 4) + 3( -4 + 7) = 6X – 8 – 12х + 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5а – (а – 2b) + (3b – а) = 2 + 5а – А + 2B + 3B – А = 3а + 5b + 2.Щоб довести, що рівність є тотожністю (інакше кажучи, щоб довести тотожність), використовують тотожні перетворення виразів.
Довести тотожність можна одним з таких способів:
Виконати тотожні перетворення її лівої частини, тим самим звівши до вигляду правої частини; Виконати тотожні перетворення її правої частини, тим самим звівши до вигляду лівої частини; Виконати тотожні перетворення обох її частин, тим самим звівши обидві чистини до однакових виразів.
Приклад 2. Довести тотожність:
1) 2х – (х + 5) – 11 = х – 16;
2) 206 – 4а = 5(2а – 3b) – 7(2а – 5b);
3) 2(3x – 8) + 4(5x – 7) = 13(2x – 5) + 21.
Р о з в’ я з а н н я.
1) Перетворимо ліву частину даної рівності:
2х – (х + 5) – 11 = 2х – Х – 5 – 11 = х – 16.
Тотожними перетвореннями вираз у лівій частині рівності звели до вигляду правої частини і тим самим довели, що дана рівність є тотожністю.
2) Перетворимо праву частину даної рівності:
5(2а – 3b) – 7(2а – 5b) = 10а – 15B – 14а + 35B = 20b – 4а.
Тотожними перетвореннями праву частину рівності звели до вигляду лівої частини і тим самим довели, що дана рівність є тотожністю.3) У цьому випадку зручно спростити як ліву, так і праву частини рівності та порівняти результати:
2(3х – 8) + 4(5х – 7) = 6х – 16 + 20х – 28 = 26х – 44;
13(2х – 5) + 21 = 26х – 65 + 21 = 26х – 44.
Тотожними перетвореннями ліву і праву частини рівності звели до одного й того самого вигляду: 26х – 44. Тому дана рівність є тотожністю.
Урок 1. ТЕМА : "Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази"
Подивіться на малюнок
Чи кожен буквений вираз є виразом зі змінними? Ні. Наприклад, ви знаєте, що буквою п позначають відношення довжини кола до його діаметра. Але це число є сталим для будь-якого кола і не може змінюватися, воно є константою: п ≈ 3,14. Тому буквений вираз, наприклад 2п, не є виразом зі змінною. Пізніше в курсі математики і фізики ви ознайомитесь і з іншими константами.
Запам’ятайте!
Запис, у якому використовують змінні, позначені буквами, числа, знаки арифметичнихдій і дужки, називається виразом зі змінними.
Саму змінну також вважають виразом зі змінними. І це найпростіший із таких виразів. Наприклад, довжину сторони квадрата можна подати так: а.
Замість змінних, що входять до виразу, можна підставити числа – значення змінних. Тоді вираз зі змінними перетвориться на числовий вираз. Викопавши обчислення, дістанемо число, яке називають значеннями виразу для заданих значень змінних. Наприклад, вираз 2(а + b) використовують для обчислення периметра прямокутника зі сторонами а і b. Звідси:
Якщо а = 1 і b = 3, то 2(а + b) = 2 ∙ (1 + 3) = 8;
Якщо а = 5 і b = 2, то 2(а + b) = 2 ∙ (5 + 2) = 14;
Якщо а = 3,5 і b = 6,1, то 2(а + b) = 2 ∙ (3,5 + 6,1)= 19,2 і т. д.
Зверніть увагу:
Значення виразу зі змінними залежить від значень змінних, що входять до нього.
? Чи завжди можна обчислити значення виразу зі змінними? Ні. Наприклад, якщо х = 2, то вираз 
втрачає зміст, оскільки його знаменник перетворюється на 0, а на 0 ділити не можна. Отже, число 2 є недопустимим значенням змінної для даного виразу. Будь-яке інше число не перетворює на нуль знаменник даного виразу і тому є допустимим значенням змінної для нього. Отже, вираз 
має зміст, лише якщо х ≠ 2.Усі значення змінної, допустимі для даного виразу, утворюють область допустимих значень (ОДЗ) змінної цього виразу. У розглянутому прикладі – це всі значення змінної х, що не дорівнюють 2.
Коротко це записують так: ОДЗ: х ≠ 2.
Вирази зі змінними можна поділити на види залежно від тих дій, які містяться в цих виразах. Якщо вираз містить лише дії додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня з натуральним показником, то такий вираз називають раціональним. Усі вирази, які розглядались у цьому параграфі, є раціональними. У наступних класах ви ознайомитесь і з іншими діями, наявність яких у виразі робитиме його ірраціональним.
Раціональні вирази, своєю чергою, поділяються на цілі та дробові вирази.
Запам’ятайте!
Вираз називається цілим, якщо він не містить ділення на вираз зі змінними.
Наприклад, цілими є вирази: (2 + а) : 30,
х, – b + 
.Прикладами дробових виразів є вирази: 
, (b – а) : (a – 5b + 3). Дробові вирази ви будете вивчати пізніше.
Задача. Які значення змінних є допустимими для виразу:
1) 
;
2) 
?
Розв’язання. 1) Вираз 
містить ділення на добуток двох множників х і 5 + х, які перетворюють знаменник на нуль, якщо х = 0 і х = -5 відповідно. Отже, числа 0 і -5 є недопустимими значеннями змінної х для даного виразу. Відтак ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5.
2) Вираз 
містить ділення на число, але не містить ділення на вираз зі змінними. Отже, це – цілий вираз, тому для нього будь-які значення змінних а і b є допустимими. Відтак ОДЗ: а – будь-яке число, b – будь-яке число.
Зверніть увагу:
Для цілого виразу ОДЗ кожної змінної – будь-яке число.
