Урок 1. ТЕМА : "Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази"

Подивіться на малюнок 

Чи кожен буквений вираз є виразом зі змінними? Ні. Наприклад, ви знаєте, що буквою п позначають відношення довжини кола до його діаметра. Але це число є сталим для будь-якого кола і не може змінюватися, воно є константою: п ≈ 3,14. Тому буквений вираз, наприклад 2п, не є виразом зі змінною. Пізніше в курсі математики і фізики ви ознайомитесь і з іншими константами.

Запам’ятайте!

Запис, у якому використовують змінні, позначені буквами, числа, знаки арифметичнихдій і дужки, називається виразом зі змінними.

Саму змінну також вважають виразом зі змінними. І це найпростіший із таких виразів. Наприклад, довжину сторони квадрата можна подати так: а.

Замість змінних, що входять до виразу, можна підставити числа – значення змінних. Тоді вираз зі змінними перетвориться на числовий вираз. Викопавши обчислення, дістанемо число, яке називають значеннями виразу для заданих значень змінних. Наприклад, вираз 2(а + b) використовують для обчислення периметра прямокутника зі сторонами а і b. Звідси:

Якщо а = 1 і b = 3, то 2(а + b) = 2 ∙ (1 + 3) = 8;

Якщо а = 5 і b = 2, то 2(а + b) = 2 ∙ (5 + 2) = 14;

Якщо а = 3,5 і b = 6,1, то 2(а + b) = 2 ∙ (3,5 + 6,1)= 19,2 і т. д.

Зверніть увагу:

Значення виразу зі змінними залежить від значень змінних, що входять до нього.

? Чи завжди можна обчислити значення виразу зі змінними? Ні. Наприклад, якщо х = 2, то вираз  втрачає зміст, оскільки його знаменник перетворюється на 0, а на 0 ділити не можна. Отже, число 2 є недопустимим значенням змінної для даного виразу. Будь-яке інше число не перетворює на нуль знаменник даного виразу і тому є допустимим значенням змінної для нього. Отже, вираз  має зміст, лише якщо х ≠ 2.Усі значення змінної, допустимі для даного виразу, утворюють область допустимих значень (ОДЗ) змінної цього виразу. У розглянутому прикладі – це всі значення змінної х, що не дорівнюють 2.

Коротко це записують так: ОДЗ: х ≠ 2.

Вирази зі змінними можна поділити на види залежно від тих дій, які містяться в цих виразах. Якщо вираз містить лише дії додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня з натуральним показником, то такий вираз називають раціональним. Усі вирази, які розглядались у цьому параграфі, є раціональними. У наступних класах ви ознайомитесь і з іншими діями, наявність яких у виразі робитиме його ірраціональним.

Раціональні вирази, своєю чергою, поділяються на цілі та дробові вирази.

Запам’ятайте!

Вираз називається цілим, якщо він не містить ділення на вираз зі змінними.

Наприклад, цілими є вирази: (2 + а) : 30, х, – b + .Прикладами дробових виразів є вирази: , (b – а) : (a – 5b + 3). Дробові вирази ви будете вивчати пізніше.

Задача. Які значення змінних є допустимими для виразу:

1) ;

2)  ?

Розв’язання. 1) Вираз  містить ділення на добуток двох множників х і 5 + х, які перетворюють знаменник на нуль, якщо х = 0 і х = -5 відповідно. Отже, числа 0 і -5 є недопустимими значеннями змінної х для даного виразу. Відтак ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5.

2) Вираз  містить ділення на число, але не містить ділення на вираз зі змінними. Отже, це – цілий вираз, тому для нього будь-які значення змінних а і b є допустимими. Відтак ОДЗ: а – будь-яке число, b – будь-яке число.

Зверніть увагу:

Для цілого виразу ОДЗ кожної змінної – будь-яке число.