Урок 2. ТЕМА: "Тотожність. Тотожні перетворення виразу"

Знайдемо значення виразів 2(х – 1) і 2х – 2 для деяких даних значень змінної х. Результати запишемо в таблицю:

Можнаприйти до висновку, що значення виразів 2(х – 1) і 2х – 2 для кожного даного значення змінної х рівні між собою. За розподільною властивістю множення відносно віднімання 2(х – 1) = 2х – 2. Тому й для будь-якого іншого значення змінної х значення виразів 2(х – 1) і 2х – 2 теж будуть рівними між собою. Такі вирази називають тотожно рівними.

Наприклад, тотожними є вирази 2х + 3х і 5х, бо при кожному значенні змінної х ці вирази набувають однакових значень (це випливає з розподільної властивості множення відносно додавання, оскільки 2х + 3х = 5х).

Розглянемотепер вирази 3х + 2у і 5ху. Якщо х = 1 і у = 1, то відповідні значення цих виразів рівні між собою:

3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Проте можна вказати такі значення х і у, для яких значення цих виразів не будуть між собою рівними. Наприклад, якщо х = 2; у = 0, то

3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.

Отже, існують такі значення змінних, при яких відповідні значення виразів 3х + 2у і 5ху не дорівнюють одне одному. Тому вирази 3х + 2у і 5ху не є тотожно рівними.

Виходячи з вищевикладеного, тотожностями, зокрема, є рівності: 2(х – 1) = 2х – 2 та 2х + 3х = 5х.Тотожністю є кожна рівність, якою записано відомі властивості дій над числами. Наприклад,

А + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;

Ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b – с) = ab – ас.

Тотожностями є і такі рівності:

А + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = – ab;

А + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; – а ∙ (-b) = аb.

Тотожностями також прийнято вважати правильні числові рівності, наприклад:

1 + 2 + 3 = 6; 52 + 122 = 132; 12 ∙ (7 – 6) = 3 ∙ 4.Якщо у виразі 5х + 2х – 9 звести подібні доданки, одержимо, що 5х + 2х – 9 = 7х – 9. У такому випадку кажуть, що вираз 5х + 2х – 9 замінили тотожним йому виразом 7х – 9.

Тотожні перетворення виразів зі змінними виконують, застосовуючи властивості дій над числами. Зокрема, тотожними перетвореннями с розкриття дужок, зведення подібних доданків тощо.

Тотожні перетворення доводиться виконувати під час спрощення виразу, тобто заміни деякого виразу на тотожно рівний йому вираз, який має коротший запис.

Приклад 1. Спростити вираз:

1) -0,3m ∙ 5n;

2) 2(3х – 4) + 3(-4х + 7);

3) 2 + 5а – (а – 2b) + (3b – а).

Розв’язання.

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5mn;

2) 2(3х 4) + 3( -4 + 7) = 6X – 8 – 12х + 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а – (а – 2b) + (3b – а) = 2 + 5а – А + 2B + 3B – А = 3а + 5b + 2.Щоб довести, що рівність є тотожністю (інакше кажучи, щоб довести тотожність), використовують тотожні перетворення виразів.

Довести тотожність можна одним з таких способів:

Виконати тотожні перетворення її лівої частини, тим самим звівши до вигляду правої частини; Виконати тотожні перетворення її правої частини, тим самим звівши до вигляду лівої частини; Виконати тотожні перетворення обох її частин, тим самим звівши обидві чистини до однакових виразів.

Приклад 2. Довести тотожність:

1) 2х – (х + 5) – 11 = х – 16;

2) 206 – 4а = 5(2а – 3b) – 7(2а – 5b);

3) 2(3x – 8) + 4(5x – 7) = 13(2x – 5) + 21.

Р о з в’ я з а н н я.

1) Перетворимо ліву частину даної рівності:

2х – (х + 5) – 11 = 2х – Х – 5 – 11 = х – 16.

Тотожними перетвореннями вираз у лівій частині рівності звели до вигляду правої частини і тим самим довели, що дана рівність є тотожністю.

2) Перетворимо праву частину даної рівності:

5(2а – 3b) – 7(2а – 5b) = 10а – 15B – 14а + 35B = 20b – 4а.

Тотожними перетвореннями праву частину рівності звели до вигляду лівої частини і тим самим довели, що дана рівність є тотожністю.3) У цьому випадку зручно спростити як ліву, так і праву частини рівності та порівняти результати:

2(3х – 8) + 4(5х – 7) = 6х – 16 + 20х – 28 = 26х – 44;

13(2х – 5) + 21 = 26х – 65 + 21 = 26х – 44.

Тотожними перетвореннями ліву і праву частини рівності звели до одного й того самого вигляду: 26х – 44. Тому дана рівність є тотожністю.